06 2productrule

# The Product Rule

.

Product means "the result of multiplying"

so use this when two functions have been multiplied together.

.

… … Given $u(x)$ and $v(x)$
.

… … If $f(x) = u × v$,

… … then $f'(x) = u × v' + u' × v$

OR

… … If $y = u \times v$

… … then $\dfrac{dy}{dx}=u\times\dfrac{dv}{dx}+v\times\dfrac{du}{dx}$

.

### Example 1

Find the derivative of each of the following with respect to x:

a)$y = \big( 2x^2 + 1\big) \big(5x^3 +16\big)$

b)$y = x^3(3x - 5)^4$

c)$y = \sin (x) \log_e(x)$

Solution:

a)$y = \big( 2x^2 + 1\big) \big(5x^3 +16\big)$

… … … Let $u = 2x^2 + 1 \qquad \text{ and } \qquad v = 5x^3 +16$

… … … … $\dfrac{du}{dx}=4x\qquad \qquad \qquad \qquad \dfrac{dv}{dx}=15x^2$
.

… … … $\dfrac{dy}{dx}=u\times\dfrac{dv}{dx}+v\times\dfrac{du}{dx}$
.

… … … … $=\big( 2x^2+1 \big)\times 15x^2+ \big( 5x^3+16 \big)\times 4x$

… … … … $=15x^2(2x^2+1)+4x(5x^3+16)$

… … … … $= 30x^4 + 15x^2 + 20x^4 + 64x$

… … … … $= 50x^4 + 15x^2 + 64x$

.

b)$y = x^3(3x - 5)^4$

.
… … … Let $u = x^3 \qquad \text{ and } \qquad v = (3x - 5)^4$

… … … … $\dfrac{du}{dx}=3x^2\qquad \qquad \dfrac{dv}{dx}=3\times4\times(3x-5)^3$
.

… … … $\dfrac{dy}{dx}=u\times\dfrac{dv}{dx}+v\times\dfrac{du}{dx}$
.

… … … … $=x^3\times12(3x-5)^3+(3x-5)^4\times3x^2$

… … … … $=12x^3(3x-5)^3+3x^2(3x-5)^4$

.

c)$y = \sin (x) \log_e(x)$

… … … Let $u = \sin(x) \qquad \text{ and } \qquad v = \log_e(x)$

… … … … $\dfrac{du}{dx}=\cos(x)\qquad \qquad \quad \dfrac{dv}{dx}=\dfrac{1}{x}$

.

… … … $\dfrac{dy}{dx}=u\times\dfrac{dv}{dx}+v\times\dfrac{du}{dx}$
.

… … … … $=\sin(x)\times\dfrac{1}{x}+\log_e(x)\times \cos(x)$

… … … … $=\dfrac{\sin(x)}{x}+\cos(x)\log_e(x)$

.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License