Binomial Probabilities for a Given Range
.
You should be familiar with the following phrases:
… … "X is more than 3" … … … means .. $X > 3$
… … "X is greater than 3" … … . means .. $X > 3$
.
… … "X is at least 3" … … … … means .. X $\geqslant 3$
… … "X is not less than 3" … … means .. $X \geqslant 3$
.
… …"X is no more than 3" … … … means .. $X \leqslant 3$
… … "X is up to and including 3" … means .. $X \leqslant 3$
.
… …"X is less than 3" … … … … means $X < 3$
… … "X is fewer than 3" … … … . means $X < 3$
.
Example 1
Given the following probability distribution:
… a) .. Find the probability that X is more than 3
… b) .. Find the probability that X is no more than 4
.
Solution
… a) .. Find the probability that X is more than 3
.
… … … $Pr(X > 3) = Pr(X = 4) + Pr(X = 5)$
.
… … … … … $= 0.0112 + 0.0048$
.
… … … … … $= 0.0160$
.
… b) .. Find the probability that X is no more than 4
.
… … … $Pr(X \leqslant 4) = Pr(X=0) + Pr(X=1) + Pr(X=2) + Pr(X=3) + Pr(X=4)$
.
… … … … … $= 0.2311 + 0.3147 + 0.3321 + 0.1061 + 0.0112$
.
… … … … … $= 0.9952$
.
… … … OR
.
… … … $Pr(X \leqslant 4) = 1 - Pr(X = 5)$
.
… … … … … $= 1 - 0.0048$
.
… … … … … $= 0.9952$
.
Finding a range of probabilities on the CAS calculator
.
From the Main screen, go to the Interactive menu and select Distribution.
.
Recall that selecting BinomialPDF will calculate $Pr(X = x)$
.
In the same way, selecting BinomialCDF will calculate $Pr(a \leqslant X \leqslant b)$
… … CDF stands for Cumulative Distribution Function
.
Enter {lower limit, upper limit, number trials, p(x) }
.
Example 2
Given that $X \sim Bi \big(6,\; 0.3\big)$
Find correct to 3 decimal places:
… a) .. $Pr (X < 3)$
… b) .. $Pr(X \geqslant 3)$
… c) .. $Pr (2 < X < 4)$
… d) .. $Pr ( 2 \leqslant X \leqslant 4$
.
Solution
… a) .. $Pr (X < 3)$
.
… … … … $Pr (X < 3) = Pr (0 \leqslant X \leqslant 2)$
.
… … … … Enter: binomialcdf lwr = 0, upr = 2, n = 6, p = 0.3
.
… … … … $Pr (X < 3) = 0.744$
.
… b) .. $Pr(X \geqslant 3)$
.
… … … … $Pr(X \geqslant 3) = Pr(3 \leqslant X \leqslant 6)$
.
… … … … Enter: binomialcdf lwr = 3, upr = 6, n = 6, p = 0.3
.
… … … … $Pr(X \geqslant 3) = 0.256$
.
… c) .. $Pr (2 < X < 4)$
.
… … … … $Pr (2 < X < 4) = Pr(X = 3)$
.
… … … … Enter: binomialpdf x = 3, n = 6, p = 0.3
.
… … … … $Pr (2 < X < 4) = 0.185$
.
… d) .. $Pr ( 2 \leqslant X \leqslant 4)$
.
… … … … Enter: binomialcdf lwr = 2, upr = 4, n = 6, p = 0.3
.
… … … … $Pr ( 2 \leqslant X \leqslant 4) = 0.569$
.
CAUTION: Do not use calculator notation in your written answers:
If required to show working, use correct mathematical notation.
… For the above example, your working should be:
… d) .. $Pr ( 2 \leqslant X \leqslant 4)$
.
… … … … … $X \sim Bi \big(6,\; 0.3\big)$
… … … … … Use calc
… … … … … $Pr ( 2 \leqslant X \leqslant 4) = 0.569$
.
Using Properties of Distributions
.
We already know that for any distribution:
… … $Pr(X \geqslant a) = 1 - Pr(X < a)$
.
This means that for a discrete distribution
… … $Pr(X \geqslant a) = 1 - Pr \big( X \leqslant (a-1) \big)$
.
… … Eg: … $Pr(X \geqslant 5) = 1 - Pr(X \leqslant 4)$
.
Also Consideration of the diagram shows that (if a < b)
.
… … $Pr(a \leqslant X \leqslant b) = Pr(X \leqslant b) - Pr(X < a)$
.
… … $Pr(a \leqslant X \leqslant b) = Pr(X \leqslant b) - Pr \big( X \leqslant (a - 1) \big)$
.
… … Eg … $Pr(5 \leqslant X \leqslant 8) = Pr(X \leqslant 8) - Pr(X \leqslant 4)$
.
Also
… … $Pr \big( \, (X \leqslant a) \cap (X \leqslant b) \, \big) = Pr(X \leqslant a)$
.
… … Eg … $Pr \big( (X \leqslant 4) \cap (X \leqslant 8) \, \big) = Pr(X \leqslant 4)$
.
Example 3
{Calculator Free Question}
In a certain binomial distribution
… … $Pr(X \leqslant 4) = 0.1$ … … and
… … $Pr(X \leqslant 10) = 0.8$
.
Find
… a) .. $Pr(X \geqslant 5)$
… b) .. $Pr(5 \leqslant X \leqslant 10)$
… c) .. $Pr(X \leqslant 4 \, | \, X \leqslant 10)$
.
Solution
… a) .. Find $Pr(X \geqslant 5)$
.
… … … … $Pr(X \geqslant 5)$
.
… … … … … $= 1 - Pr(X \leqslant 4)$
.
… … … … … $= 1 - 0.1$
.
… … … … … $= 0.9$
.
… b) .. Find $Pr(5 \leqslant X \leqslant 10)$
.
… … … … $Pr(5 \leqslant X \leqslant 10)$
.
… … … … … $=Pr(X \leqslant 10) - Pr(X < 5)$
.
… … … … … $= Pr(X \leqslant 10) - Pr(X \leqslant 4)$
.
… … … … … $= 0.8 - 0.1$
.
… … … … … $= 0.7$
.
… c) .. Find $Pr(X \leqslant 4 \, | \, X \leqslant 10)$
.
… … … … $Pr(X \leqslant 4 \, | \, X \leqslant 10)$
.
… … … … … $= \dfrac{Pr \Big( (X \leqslant 4) \cap (X \leqslant 10) \Big) }{Pr(X \leqslant 10)}$
.
… … … … … $= \dfrac{Pr(X \leqslant 4)}{Pr(X \leqslant 10)}$
.
… … … … … $= \dfrac{0.1}{0.8}$
.
… … … … … $= \dfrac{1}{8}$
.