11 2multiple

# Binomial Probabilities for a Given Range

.

You should be familiar with the following phrases:

… … "X is more than 3" … … … means .. $X > 3$

… … "X is greater than 3" … … . means .. $X > 3$
.

… … "X is at least 3" … … … … means .. X $\geqslant 3$

… … "X is not less than 3" … … means .. $X \geqslant 3$
.

… …"X is no more than 3" … … … means .. $X \leqslant 3$

… … "X is up to and including 3" … means .. $X \leqslant 3$
.

… …"X is less than 3" … … … … means $X < 3$

… … "X is fewer than 3" … … … . means $X < 3$

.

### Example 1

Given the following probability distribution:

a) .. Find the probability that X is more than 3

b) .. Find the probability that X is no more than 4
.

Solution

a) .. Find the probability that X is more than 3
.

… … … $Pr(X > 3) = Pr(X = 4) + Pr(X = 5)$
.

… … … … … $= 0.0112 + 0.0048$
.

… … … … … $= 0.0160$

.

b) .. Find the probability that X is no more than 4
.

… … … $Pr(X \leqslant 4) = Pr(X=0) + Pr(X=1) + Pr(X=2) + Pr(X=3) + Pr(X=4)$
.

… … … … … $= 0.2311 + 0.3147 + 0.3321 + 0.1061 + 0.0112$
.

… … … … … $= 0.9952$
.

… … … OR
.

… … … $Pr(X \leqslant 4) = 1 - Pr(X = 5)$
.

… … … … … $= 1 - 0.0048$
.

… … … … … $= 0.9952$

.

## Finding a range of probabilities on the CAS calculator

.

From the Main screen, go to the Interactive menu and select Distribution.
.

Recall that selecting BinomialPDF will calculate $Pr(X = x)$
.

In the same way, selecting BinomialCDF will calculate $Pr(a \leqslant X \leqslant b)$

… … CDF stands for Cumulative Distribution Function
.

Enter {lower limit, upper limit, number trials, p(x) }

.

### Example 2

Given that $X \sim Bi \big(6,\; 0.3\big)$

Find correct to 3 decimal places:

a) .. $Pr (X < 3)$

b) .. $Pr(X \geqslant 3)$

c) .. $Pr (2 < X < 4)$

d) .. $Pr ( 2 \leqslant X \leqslant 4$

.

Solution

a) .. $Pr (X < 3)$
.

… … … … $Pr (X < 3) = Pr (0 \leqslant X \leqslant 2)$
.

… … … … Enter: binomialcdf lwr = 0, upr = 2, n = 6, p = 0.3

.

… … … … $Pr (X < 3) = 0.744$
.

b) .. $Pr(X \geqslant 3)$
.

… … … … $Pr(X \geqslant 3) = Pr(3 \leqslant X \leqslant 6)$
.

… … … … Enter: binomialcdf lwr = 3, upr = 6, n = 6, p = 0.3

.

… … … … $Pr(X \geqslant 3) = 0.256$
.

c) .. $Pr (2 < X < 4)$
.

… … … … $Pr (2 < X < 4) = Pr(X = 3)$
.

… … … … Enter: binomialpdf x = 3, n = 6, p = 0.3

.

… … … … $Pr (2 < X < 4) = 0.185$
.

d) .. $Pr ( 2 \leqslant X \leqslant 4)$
.

… … … … Enter: binomialcdf lwr = 2, upr = 4, n = 6, p = 0.3

.

… … … … $Pr ( 2 \leqslant X \leqslant 4) = 0.569$

.

If required to show working, use correct mathematical notation.

… For the above example, your working should be:

d) .. $Pr ( 2 \leqslant X \leqslant 4)$
.

… … … … … $X \sim Bi \big(6,\; 0.3\big)$

… … … … … Use calc

… … … … … $Pr ( 2 \leqslant X \leqslant 4) = 0.569$

.

## Using Properties of Distributions

.

We already know that for any distribution:

… … $Pr(X \geqslant a) = 1 - Pr(X < a)$

.

This means that for a discrete distribution

… … $Pr(X \geqslant a) = 1 - Pr \big( X \leqslant (a-1) \big)$
.

… … Eg: … $Pr(X \geqslant 5) = 1 - Pr(X \leqslant 4)$

.

Also Consideration of the diagram shows that (if a < b)

.

… … $Pr(a \leqslant X \leqslant b) = Pr(X \leqslant b) - Pr(X < a)$
.

… … $Pr(a \leqslant X \leqslant b) = Pr(X \leqslant b) - Pr \big( X \leqslant (a - 1) \big)$

.

… … Eg … $Pr(5 \leqslant X \leqslant 8) = Pr(X \leqslant 8) - Pr(X \leqslant 4)$

.

Also

… … $Pr \big( \, (X \leqslant a) \cap (X \leqslant b) \, \big) = Pr(X \leqslant a)$
.

… … Eg … $Pr \big( (X \leqslant 4) \cap (X \leqslant 8) \, \big) = Pr(X \leqslant 4)$

.

### Example 3

{Calculator Free Question}

In a certain binomial distribution

… … $Pr(X \leqslant 4) = 0.1$ … … and

… … $Pr(X \leqslant 10) = 0.8$
.
Find
a) .. $Pr(X \geqslant 5)$

b) .. $Pr(5 \leqslant X \leqslant 10)$

c) .. $Pr(X \leqslant 4 \, | \, X \leqslant 10)$

.
Solution

a) .. Find $Pr(X \geqslant 5)$
.

… … … … $Pr(X \geqslant 5)$
.

… … … … … $= 1 - Pr(X \leqslant 4)$
.

… … … … … $= 1 - 0.1$
.

… … … … … $= 0.9$

.

b) .. Find $Pr(5 \leqslant X \leqslant 10)$
.

… … … … $Pr(5 \leqslant X \leqslant 10)$
.

… … … … … $=Pr(X \leqslant 10) - Pr(X < 5)$
.

… … … … … $= Pr(X \leqslant 10) - Pr(X \leqslant 4)$
.

… … … … … $= 0.8 - 0.1$
.

… … … … … $= 0.7$

.

c) .. Find $Pr(X \leqslant 4 \, | \, X \leqslant 10)$
.

… … … … $Pr(X \leqslant 4 \, | \, X \leqslant 10)$
.

… … … … … $= \dfrac{Pr \Big( (X \leqslant 4) \cap (X \leqslant 10) \Big) }{Pr(X \leqslant 10)}$
.

… … … … … $= \dfrac{Pr(X \leqslant 4)}{Pr(X \leqslant 10)}$
.

… … … … … $= \dfrac{0.1}{0.8}$
.

… … … … … $= \dfrac{1}{8}$

.