12 2pdf

# Finding Probabilities with Probability Density Functions

.

If X is a continuous random variable with probability density function $f(x)$ then

… … $Pr (a < X < b)= \displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} \; f(x) \; dx}$

.

Note: Remember that $Pr (a < x < b) = Pr a \leqslant x \leqslant b)$

.

In the following example we need conditional probability.

• The formula below can be found on your formula sheet.
• It calculates the probability of A given that B has happened.

… … $Pr (A \,| \, B)=\dfrac{Pr(A\cap{B})}{Pr(B)}$

.

##### Example 1

The continuous random variable X has a probability density function with the following rule:

… … $f(x)=\Bigg\{\begin{matrix} 1.5(1-x^2)&\quad0 \leqslant {x} \leqslant 1 \qquad .\\ 0 & \text{elsewhere} \\ \end {matrix}$

Find (correct to 4 decimal places)

a) .. $Pr (X > 0.7)$

b) .. $Pr (0.4 < X < 0.7)$

c) .. $Pr ( X > 0.7 \,|\, X > 0.4)$
.

Solution:

a) .. Find $Pr (X > 0.7)$
.

… … … $Pr (X>0.7)$
.

… … … … … $=1.5 \displaystyle{ \int\limits_{0.7}^{1} \;1-x^2 \; dx}$
.

… … … … … $=1.5\left[x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{0.7}^{1}$
.

… … … … … $=1.5\left[ \left(1-\dfrac{1}{3} \right)- \left(0.7-\dfrac{0.343}{3} \right) \right]$
.

… … … … … $=0.1215$

.

b) .. Find $Pr (0.4 < X < 0.7)$
.

… … … $Pr (0.4 < X < 0.7)$
.

… … … … … $=1.5 \displaystyle{ \int\limits_{0.4}^{0.7} \; 1-x^2 \; dx}$
.

… … … … … $=1.5\left[x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{0.4}^{0.7}$
.

… … … … … $=1.5\left[ \left( 0.7-\dfrac{0.343}{3} \right)- \left(0.4-\dfrac{0.64}{3} \right) \right]$
.

… …. … … … $=0.3105$

.

c) .. Find $Pr ( X > 0.7 \,|\, X > 0.4)$
.

… … … $Pr ( X > 0.7 \,|\, X > 0.4)$
.

… … … … … $=\dfrac{Pr[(X>0.7)\cap(X>0.4)]}{Pr(X>0.4)}$
.

… … … … … $=\dfrac{Pr(X>0.7)}{Pr(X>0.4)}$
.

… … … … … $=\dfrac{0.1215}{0.4320}$
.

… … … … … $=0.2813$

.

## Dealing with Infinity

Recall that

… … $\begin{matrix} \lim \\ k \rightarrow \infty \\ \end{matrix} \left( \dfrac{1}{k} \right) = 0$
.

… … or, more simply:
.

… … $\dfrac{1}{\infty}=0$

.

Also

… … $\begin{matrix} \lim \\ k \rightarrow \infty \\ \end{matrix} \Big( e^{-k} \Big) = 0$
.

… … or, more simply:
.

… … $e^{-\infty} = 0$

.

The textbook uses the limit notation for calculating integrals to infinity as this is more formally correct, but it is sufficient to write the integral with the infinity sign.

.

##### Example 2

Consider the exponential function with rule:

… … $f(x)=\Bigg\{\begin{matrix} 2e^{-2x}&\quad{x>0} \qquad . \\ 0&\quad\,x \leqslant 0 \qquad . \\ \end {matrix}$

a) .. Sketch the graph of $f(x)$

b) .. Show that $f(x)$ is a probability density function

c) .. Find $Pr (X > 1)$ correct to 4 decimal places

d) .. Find the exact value a such that $Pr ( X < a) = 0.5$.
.

Solution:

a) .. Sketch the graph of $f(x)$

… … … Graph has a horizontal asymptote, $y = 0$

… … … It has an endpoint at $\big(0,\; 2\big)$.

… … … Don't forget to show the section where $f(x) = 0 \text{ for } x < 0$

.

b) .. Show that $f(x)$ is a probability density function
.

… … … From the graph it can be seen that $f(x)\geqslant 0 \text{ for all } x \in R$
.

… … … And also
.

… … … $\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty} \; 2e^{-2x} \; dx}$
.

… … … … … $=\left[-e^{-2x}\right]_{0}^{\infty}$
.

… … … … … $=\big(-e^{-\infty} \big)-\big(-e^{0}\big)$
.

… … … … … $= 0 + e^0$
.

… … … … … $=1$
.

… … … hence the area under the graph equals 1
.

.

… … … $f(x)$ meets both properties of probability density functions

… … … so $f(x)$ is a probability density function.

.

c) .. Find $Pr (X > 1)$
.

… … … $Pr(X > 1)$
.

… … … … … $= \displaystyle{ \int\limits_{1}^{\infty} \; 2e^{-2x} \; dx}$
.

… … … … … $=\left[-e^{-2x}\right]_{1}^{\infty}$
.

… … … … … $=\big(-e^{-\infty}\big)-\big(-e^{-2}\big)$
.

… … … … … $= 0 + e^{-2}$
.

… … … … … $=0.1353$

.

d) .. Find the exact value a such that $Pr ( X < a) = 0.5$.
.

… … … $Pr(X < a) =0.5$
.

… … … $\displaystyle{ \int\limits_{0}^{a} \; 2e^{-2x} \; dx} = 0.5$
.

… … … $\left[-e^{-2x}\right]_{0}^{a} = 0.5$
.

… … … $\big(-e^{-2a}\big)-\big(-e^{0}\big) = 0.5$
.

… … … $-e^{-2a}+1=0.5$
.

… … … $-e^{-2a} = -0.5$
.

… … … $e^{-2a}=0.5$
.

… … … {Using log laws}
.

… … … $\log_e(0.5)=-2a$
.

… … … $a=\dfrac{-\log_e(0.5)}{2}$
.

… … … $a=\dfrac{-\log_e\big( 2^{-1} \big) }{2}$
.

… … … $a=\dfrac{\log_e(2)}{2}$

.