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Linear Transformations on a Continuous Random Variable

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We can apply the same linear transformations on E(X) and Var(X) that we used with Discrete Random Variables
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  • $E\big(aX + b\big) = aE\big(X\big) + b$

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  • $E\big(X + Y\big) = E\big(X\big) + E\big(Y\big)$

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  • $\text{Var}\big(aX + b\big) = a^2 \text{Var}\big(X\big)$

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  • $\text{Var}\big(X +Y\big) = \text{Var} \big(X\big) + \text{Var} \big(Y\big)$

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Example 1

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The continuous random variable Z has a mean of 5 and a variance of 2

Find

a) .. $E \big(3Z - 1\big)$

b) .. $\text{Var}\big(3Z - 1\big)$

c) .. $E \big( Z^2 \big)$

d) .. $E \big(3Z^2 – 1 \big)$
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Solution:

a) .. Find $E\big(3Z - 1\big)$
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… … … $E\big(3Z - 1\big) = 3E\big(Z\big) - 1$
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… … … … … $= 3 \times 5 - 1$
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… … … … … $= 14$

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b) .. Find $\text{Var}\big(3Z - 1\big)$
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… … … $\text{Var}\big(3Z - 1\big) = 3^2\text{Var}\big(Z\big)$
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… … … … … $= 9 \times 2$
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… … … … … $= 18$

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c) .. Find $E \big(Z^2 \big)$
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… … … Use $\text{Var} \big( X \big) = E \big( X^2 \big) - \Big[ E \big( X \big) \Big]^2$

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… … … $\text{Var} \big( Z \big) = E \big( Z^2 \big) - \Big[ E \big( Z \big) \Big]^2$
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… … … $2 = E \big( Z^2 \big) - \big( \, 5 \, \big)^2$
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… … … $2 = E \big( Z^2 \big) - 25$
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… … … $E \big( Z^2 \big) = 27$

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d) .. Find $E \big( 3Z^2 – 1 \big)$
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… … … $E\big(3Z^2 - 1\big) = 3E\big(Z^2\big) - 1$
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… … … … … $= 3 \times 27 - 1$
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… … … … … $= 80$
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